A + B = C
\[\DeclareMathOperator{\rad}{rad}\]Kan det overhovedet blive nemmere?
Normalt tænker vi på matematiske sætninger som værende enten sande eller falske. Der kan være flere måder at nå resultatet på, men i sidste ende er det enten eller 1. Matematiske sætninger, som endnu ikke er hverken bevist eller modbevist, kalder vi formodninger.
I disse dage gør matematik samfundet endnu et forsøg på at forstå (dele) af beviset for ABC formodningen. Jeg omtaler ABC formodningen som en formodning selvom japaneren Shinichi Mochizuki har publiceret et bevis for den. Men det er et bevis som ingen andre for alvor endnu rigtig har forstået.
Når man siger ABC tænker mange danskere på Halfdan Rasmussen og Ib Spang Olsens Halfdans ABC fra 1967. ABC formodningen er nok ikke hel så simpel som Halfdans ABC, men jeg skal gøre mit bedste for at forklare den så simpelt som muligt.
Den første ud af Mochizukis fire artikler starter nogenlunde sådan her:
by applying the theory of semi-graphs of anabelioids, Frobenioids, the etale theta function, and log-shells
Selv med en 5 årig universitets uddannelse i matematik giver det overhovedet ingen mening for undertegnede.
Så selvom vi tænker på matematisk udsagn som værende enten sande eller falske, så er matematik altså også en form for en social konstruktion, som først opnår gyldighed, når andre matematikere forstår og accepterer beviset 2.
ABC formodningen tager udgangspunkts i ligningen
\[a + b = c\]med nogle få begrænsninger på heltallene $a, b$ og $c$. Det er en fundamental egenskab ved alle positive heltal, at de kan udtrykkes som et entydigt produkt af primtal. Fx kan $10$ skrives som $2 · 5$, $12$ som $2 · 2 · 3$ og $594$ som $2 · 3 · 9 · 11$. Hvis vi starter med et primtal som fx $17$ skriver vi bare $(1 · ) 17$.
I ABC formodningen kan vi ikke vælge $a, b$ og $c$ helt frit. Begrænsningen består i, at hvis vi skriver $a$ hhv $b$ som en produkt af primtal, så må de to primtalsfaktoriseringen ikke have nogle fælles primtal. Igen er det måske lettere at forstå med et eksempel. Hvis $a$ er $12$, som kan skrives som $2 · 2 · 3$, så må primtallene $2$ og $3$ ikke indgå i faktoriseringen af $b$. Her kan $b$ altså fx ikke være $10 (= 2 · 5)$ eller $15 (= 3 · 5)$, men derimod godt $35 (= 5 · 7)$.
Dette krav er ikke særligt restriktivt, og uanset hvordan vi vælger $a$ kan man finde masser af $b$’er som ikke er i modstrid med reglen. Hvis $a$ og $b$ ikke har fælles primtalsfaktorer, siges $a$ og $b$ at være coprime.
Lad os se på nogle flere eksempler af talpar $a$ og $b$ som er coprime:
\[16 + 495 = 2^4 + 5 · 9 · 11 = 7 · 73 = 511\] \[9 + 49 = 3^2 + 7^2 = 2 · 29 = 58\] \[3 + 125 = 3 + 5^3 = 128 = 2^7\]Er der forskel på ovenstående eksempler? Hvis man ser efter vil man bemærke at de to første eksempler er kendetegnet ved at have flere primtalsfaktorer i faktoriseringe af $a + b$ end der er primtal i faktoriseringen af $c$.
For det sidste eksempel er det omvendt. Her er flere faktorer for $c$ end for $a + b$.
Ovenfor omtalte jeg den entydige primtalsfaktorisering af ethvert positivt heltal. Lidt mere formelt udtryk har vi, at ethvert positivt heltal $n$ kan skrives som
\[n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k} = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i}\]Per definition sætter vi radikalet af $n$ til at være
\[\rad(n) = p_1 p_2 \dots p_k\]Og som før er det måske lettere at forstå ved hjælp af nogle eksempler. Vi kan skrive $36$ som $2 · 2 · 3 · 3$, så derfor er $\rad(36) = 2 · 3 = 6$. Tallet $30$ kan skrives som $2 · 3 · 5$, og derfor er $\rad(30) = 2 · 3 · 5 = 30$. Tallet $31$ er et primtal, hvorfor $\rad(31) = 31$.
Lad os genbesøge eksempler ovenfor. Først eksemplet med $a = 16$, $b = 495$ og $c = 511$. Her er $\rad(abc) = 2 · 5 · 9 · 11 · 7 · 73 = 505890$, hvor $\rad(abc) > c$.
Det næste eksempel er $a = 9$, $b = 49$ og $c = 58$, hvor $\rad(abc) = 3 · 7 · 2 · 29 = 1218$, så igen er $\rad(abc) > c$.
I det sidste har vi $a = 3$, $b = 125$ og $c = 128$, hvor $\rad(abc) = 3 · 5 · 2 = 30$, så modsat de to foregående eksempler er $\rad(abc) < c$.
Hvis $\rad(abc) < c$ kalder man triplet ${a, b, c}$ for et $abc$-hit.
Sagt forenklet siger ABC formodningen, at vi næsten altid har $\rad(abc) > c$ eller med andre ord, at $abc$-hits er sjældne.
Udtryk som ‘næsten altid’ eller ‘er sjældne’ er dog langt fra præcise nok til at kunne indgå i matematiske sætninger. Her benyttes så et standard ‘trick’, hvor vi erstatter ‘er sjældne’ med et epsilon $(\epsilon)$ / omegns argument 3. Hvis man i stedet for udtrykket ‘er sjældne’ kan få omformleret til noget, hvor der kun højest er endeligt mange ${a, b, c}$ hvor det i en vilkårligt lille ‘omegn’ gælder at $\rad(abc) < c$
Jeg er fuldstændigt klar over, at dette ikke er specielt matematisk præcist formuleret, men det er heller ikke målsætningen med dette indlæg. Tanken er mere at give en (forhåbenligt) intuitiv forståelse for ABC formodningen.
Formelt lyder ABC formodningen:
For ethvert reelt tal $\epsilon > 0$ er der højest endeligt mange tripler ${a, b, c}$ hvor $\rad(abc)^{1 + \epsilon} < c$.
Hvorfor er ABC formodningen interessant
Hvis ABC formodningen er sand, så kan man fx på ganske få linjer bevise, at Fermats sætnings er sand, dvs at ligningen
\[a^n + b^n = c^n\]ikke har heltalsløsningen for $a$, $b$ og $c$, hvis $n$ er større end 2. Der gik mere end 350 år fra formodningen blev fremsat til den blev bevist og selve beviset fylder flere hundrede sider.
En lang række af andre matematiske beviser og formodninger i talteori vil også let følge af ABC formodningen.
Fodnoter
-
Jeg tillader mig her at ser bort fra Gödels ufuldstændighedssætning, hvor man under passende betingelser viser, at der findes matematiske systemer, hvor det er muligt at formulere en matematisk sætning således at hverken sætningen eller dens negation kan bevises indenfor systemet. ↩
-
Artiklen Om Proof And Progress In Mathematics af William P. Thurston har en interessant diskussion af, hvad beviser er. ↩
-
På engelsk neighbourhood. Omegn er et grundliggende koncept i topologiske rum. Intuitivt er omegnen af et punkt en mængde som indeholder punktet selv og hvor man kan ‘flytte’ punktet en smule rundt i omegnen uden af det forlader omegnen. ↩
Please create issues at the Github repo Twitter.
Edit page on GitHub. Please help me to improve the blog by fixing mistakes on GitHub. This link will take you directly to this page in our GitHub repository.
There are more posts on the front page.
Content of this blog by Carsten Jørgensen is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.